스튜던트 t-분포

이번에는 정규분포를 통하여 만들 수 있는 유명한 확률분포에 대하여 소개하겠습니다.

표본평균을 다음과 같이 정의합니다.

큰수의 법칙에 따르면 표본평균

의 값은 n이 커짐에 따라 모평균에 가까워지므로 모평균의 추정량으로 표본평균을 택하는 것이 자연스럽는 것을 생각할 수 있습니다. 이 때, 평균의 성질을 이용하면 다음이 성립함을 알 수 있습니다.

문제는 모표준편차를 모르는 경우에는 표본평균의 표준오차를 알 수 없으므로, 모표준편차의 추정값을 구하여야 합니다. 이 경우 다음의 표본표준편차

을 사용해도 별 차이가 없다는 사실이 알려져 있습니다.

다음과 같이 확률변수를 정의할 때

스튜던트 t-분포를 따른다고 합니다.

t 분포는 평균이 0이며 좌우대칭이고, 자유도(df, degree of freedom)에 따라 그 모양이 결정되는 상태입니다. 따라서 자유도 df=n-1 로 분포모양이 결정된다 라고 생각하시면 됩니다.

큰수의 법칙에 의하여 표본크기가 증가함(혹은 자유도)에 따라서 정규분포로 수렴합니다.